Bài tập

Sinh viên download bài tập môn Phương trình vi phân tại đây.

78 Responses to Bài tập

  1. hồng nói:

    em thưa thầy!
    phương trình vi phân chương 2 nội dung rất nhiều và khó
    em đã học nhưng mà không tài nào hệ thống được kiến thức.
    phần phương trình vi phân cấp cao ý ạ.Em mong thầy cho em lời khuyên làm thế nào để hệ thống kiến thức cho tốt

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Em nên phân theo dạng. Chương 2 có 2 dạng
      - Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên
      - Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
      Lý thuyết dài bởi đó là cách xây dựng cách làm, còn bài tập chỉ áp dụng một phần hay một trường hợp nhỏ của lý thuyết nên khó có thể nhớ được hết lý thuyêt, vấn đề em hiểu là được. Bài tập chúng tôi đã phân dạng và khi chữa bài tập các giảng viên thường nhắc lại lý thuyết và các dạng bài tập, em chỉ cần nhớ phần lý thuyết nhắc lại đó là đủ để làm bài tập cũng như khi đi thi.

  2. Hoàng Yến nói:

    Thầy ơi! thầy có thể giải bài 141 trong tờ đề cương phương trình vi phân giúp em ko ạ?
    e vướng mắc ở vế phải của nó là x^3.cos(x).
    Theo như thầy giảng thì sẽ có thể dùng chồng chất nghiệm đối với vế phải là các tổng (ví dụ: x^3 + cos(x) ) nhưng ở đây là tích thì làm thế nào hả thầy?

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Em đang lẫn cách giải 2 loại phương trình: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên và phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Ý 141 là phương trình vi phân tuyến tính HỆ SỐ BIẾN THIÊN, cách giải đơn giản nhất làn dùng công thức Ostrogradski – Liouville để tìm nghiệm riêng thứ 2 của phương trình thuần nhất, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Tiếp theo dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Cuối cùng kết luận nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

  3. Minh nói:

    Thầy ơi thầy có thể cho chúng em đáp án các bài tập trong tờ đề vi phân ko thầy?
    Nó sẽ giúp chúng em rất nhiều trong việc làm bài tập, có thể kiểm tra mình có làm đúng ko trong mỗi bài và nếu kết quả sai thì chúng e sẽ kiểm tra lại, chứ mỗi lần chúng e làm nhưng ko dám chắc chắn được là chúng e có sai ở đâu ko.

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Xin lỗi, vì những lý do khác nhau tôi không thể cung cấp đáp án những phần bài tập này, các em phải tự giải và đối chiếu với nhau.

  4. Hải nói:

    Thưa thầy, trên lớp em thấy mọi người dùng tờ bài tập gần 200 câu, sao bài tập trên kia lại khác ạ? Thầy có thể chỉ em chỗ download bài tập kia được không, em cảm ơn!

  5. langtu nói:

    thay giup e giai cau tich phan nay tich phan cua -( siny.dy/y^3)

    • tuongnm nói:

      Tôi không biết em làm bài tập nào mà dẫn đến tích phân của hàm siêu việt này. Để tích tich phân này em nên sử dụng công thức khai triển Maclaurin đối với hàm \sin x:
      \sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \cdots
      Tôi nghĩ em đã hỏi cầu này chắc sẽ làm được tiếp.

  6. hocsinh nói:

    thay oi lam sao de hoctot phan ly thuyet chuoi ak em chang lam duoc bai tap phan nay

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Chương Lý thuyết chuỗi em thấy rõ có hai phân:
      Phần 1: Chuỗi số; có các loại chuỗi sau;
      – Chuối số dương;
      – Chuối đan dấu;
      – Chuối số có dấu bất kỳ.
      2 vấn đề chính quan trọng của phần chuỗi số là xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có), đặc biệt có hai kết quả cần nhớ \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{q^n}} ,q \in \mathbb{R} và chuỗi Riemann \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1} {{{n^\alpha }}},\alpha }  \in \mathbb{R}.
      Phần 2: Chuỗi hàm số; nghiên cứu các vấn đề sau:
      – Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm.
      – Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.
      – Khai triển hàm số thành chuỗi chuỗi Fourier.

  7. langtu nói:

    thầy hướng dẫn e phân pt vi phân có biến số phân li. e ngồi cả buổi mà k giải đc con nào cả

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Phần phương trình biến số phân ly được đánh giá là phần dễ nhất của môn học, em có thể hỏi các bạn cùng lớp hoặc hỏi trực tiếp tôi ở trên lớp.

  8. Em chào thầy, thầy gợi ý giúp em các giải câu 3 trong bài 1.1 ạ. Em đưa về dạng tích phân thì có 1 vế có biểu thức là: Tích phân của dy/(2y*căn(y-y^2)). Thầy giúp em tính tích phân này với ạ. Em cảm ơn thầy và chúc thầy công tác tốt!!

  9. Thầy ơi thầy hướng dẫn giúp em bài này với ạ: \displaystyle y'=\sqrt{{{x}^{2}}-y}+2x
    Em không hiểu làm thế nào để đưa về phương trình biến số phân li ạ.

    • Bài này em làm được rồi Thầy gúp em bài \displaystyle y'={{y}^{2}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} với ạ. Em không đưa được về phương trình biến số phân ly ạ.

    • Bài đó em làm được rồi ạ. Thầy gợi ý giúp em bài này với ạ: \displaystyle y'={{y}^{2}}-\frac{2}{{{x}^{2}}}

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Lời giải của Quân ở trên sai rồi, em chú ý không thể biến đổi thế được.
        Đặt z = xy \Rightarrow y = \frac{z}{x} \Rightarrow y' = \frac{{z'x - z}}{{{x^2}}}, em thay vào phương trình và làm tiếp nhé.

      • quancnpmk10a nói:

        Cảm ơn thầy ạ. Cho em hỏi thêm chút. Em thắc mắc cái này nhiều lắm mong thầy giải đáp kỹ giúp em.
        * Thứ nhất: Với các bài mà cần chia xuống để đưa về pt có biến số phân ly thì tại sao ta không xét 2 TH là TH biểu thức chia đó =0 và TH nó #0 mà cứ giải sử #0 cuối cùng sau khi làm cái #0 đó mới quay về xét =0. Làm thế em thầy nó dễ quên cái TH=0.

        * Thứ 2: Tại sao khi kết luận nghiệm của PT ta lại nói là tích phân tổng quát là:… rồi sau đó lại ngoài ra pt có nghiệm…. mà không nói Các nghiệm của pt là:…

        * Thứ 3: Vói TH vi phân thuần nhất tại sao ta không xét 2 TH là x=0 và x#0 rồi mới đặt y=zx mà lại đặt ngay???? Như thế liệu có sai sót không?

        * Thứ 4: Với những bài cần xét điều kiện để ta chia xuống VD như bài x.y.y’+x^2-2y^2 (bài 28) em xét 2 TH là xy=0 và xy#0. Khi xét xy=0 em giải ra được x=0 hoặc y=0 và em không biết xử lý thế nào nữa. Thầy giúp em.

        Em rất thắc những điều này. Mong thầy trả lời chi tiết từng phần giúp em. Em cảm ơn thầy.

      • tuongnm_phuongdt nói:

        1, Đây là những cách giải mà hầu hết các sách đều cho là không chặt chẽ, nhưng mục đích của bài toán là tìm ra nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát. Trường hợp xét các biểu thức đó =0 ta chỉ tìm ra nghiệm kỳ dị hoặc chưa chắc nó đã là nghiệm vì vậy nó không phải là cách giải chính, hơn nữa có những bài cần chia, có những bài lại không cần chia, có những bài cần điều kiện, có những bài không cần điều kiện. Ví dụ phương trình \left( {1 + {y^2}} \right)dx + \left( {1 + {x^2}} \right)dy = 0.
        2, Ở trên lớp tôi giảng tôi có phân biệt cho sv khi nào là tích phân tổng quát, khi nào là nghiệm tổng quát. Em xem lại phần này và xem rõ phần đồ thị của nó. Nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát đó cũng là một họ đường cong rồi. Còn câu ngoài ra thì chỉ ra nghiệm kỳ dị nếu có, nghiệm này không nằm trong nghiệm tổng quát.
        3, Đối với phương trình thuần nhất có những đầu bài cho sẵn dạng f\left( {\frac{y}{x}} \right), có nghĩa là họ cho ta điều kiện tồn tại của phương trình là x \ne 0 rồi và không cần phải xét nữa nên khi đặt không cần điều kiện của x. Còn đối với những bài phải biến đổi về dạng trên bằng cách chia thì phải có điều kiện của x nên việc xét x=0, x \ne 0 không phải cách giải tổng quát.
        4, xyy^{'} + {x^2} - 2{y^2} = 0. Bài này em không thể xét như trên được.
        Trước hết em đưa phương trình về dạng f\left( {\frac{y}{x}} \right) bằng cách chia hai vế của phương trình cho x^2, cụ thể như sau
        - Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình.
        - Với x \ne 0 chia hai vế của phương trình cho x^2 ta được \frac{y}{x}y' + 1 - 2{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} = 0. Đến đây em tự đặt và là tiếp nhé.

      • quancnpmk10a nói:

        Theo như thầy nói thì sẽ là thế này đúng không ạ?
        1/ Giả sử những bài cần chia và có cần điều kiện thì ta chỉ cần giả sử nó #0 và chi xuống giải tiếp mà không cần giải điều kiện nó =0. Đến cuối ta sẽ ngầm giải trường hợp này và kết luận.
        2/ TKhi kết luận tích phân tổng quát, nghiệm tổng quát và nghiệm kỳ dị thif ta sẽ viết tương ứng với nó là tích phân tổng quát, nghiệm tổng quá, nghiệm kỳ dị.
        3/ Đối với những bài cần biến đổi về dạng \frac{y}{x} thì ta chỉ cần kiểm tra x=0 có là nghiệm không và làm tiếp với x#0.

        Em hiểu như vậy có đúng ko ạ?

      • tuongnm_phuongdt nói:

        1, Trường hợp giải điều kiện bằng 0 coi như làm ra nháp, nếu nó là nghiệm thì kết luận còn không thì ta không nói thêm gì nữa.
        2, Nếu kết quả cuối cùng ta thu được nghiệm tổng quát dưới dạng hàm ẩn thì đó là tích phân tổng quát.
        3, Em cũng có thể là tương tự như 1, có nghĩa là kiểm tra trường hợp x=0 sau.

      • quancnpmk10a nói:

        Thế ví dụ ta xét x\doteq 0 mà nó là nghiệm thì ta cũng kết luận nó là nghiệm đúng không ạ?

      • quancnpmk10a nói:

        Em xi lỗi, em viết sai mất.
        Một điều nữa là khi giải em cần giả sử y-x\neq 0 mà sau đó kiểm tra $latexy-x=0$ nó lại thỏa mãn thì có thể kết luận y=x là nghiệm tổng quát được không ạ hay ta vẫn phải ghi là ngoài ra y=x là nghiệm của pt?

        Cho em hỏi luôn cách xóa bài hoặc sửa bài của mình khi viết bị sai trên này ạ?

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Em viết như thế có nghĩa là em chưa phân biệt được nghiệm tổng quát và các nghiệm khác. Nghiệm y=x được tìm ra trong khi giải phương trình nó có thể ko xuất phát từ nghiệm tổng quát dù hằng số C nhận bất kỳ giá trị nào thì nó là nghiệm kỳ dị và cuối cung ta vẫn phải ghi thêm là y=x là nghiệm của phương trình.
        Còn việt xóa bài hoặc sửa bài chỉ có ban quản trị blog mới thay đổi được em ạ.

      • quancnpmk10a nói:

        Vâng em cảm ơn thầy.

      • quancnpmk10a nói:

        Thưa thầy thầy cho em hỏi bài này được ko ạ?
        \left( {xy' + y} \right)^2 = yy{'^2}
        Em coi đây là pt bậc 2 của y’ và giải ra có $ latex \Delta = {y^3}$ và cuối cùng em không đưa được về dạng của pt thuần nhất. Thầy giúp em với ạ.

      • quancnpmk10a nói:

        Thưa thầy. thầy giúp em bài này. x(x + 2y)dx + ({x^2} - {y^2})dy = 0 . em đặt y=zx tuy nhiên nó dẫn đến tính tích phân \int {\frac{{{z^2} - 1}}{{ - {z^3} + 3z + 1}}} dz và không tính được tếp. Thầy giúp em với.

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Em thấy ngay tử số là đạo hàm của mẫu rồi còn gì nữa
        \int {\frac{{{z^2} - 1}}{{ - {z^3} + 3z + 1}}dz}  =  - \frac{1}{3}\int {\frac{{d\left( { - {z^3} + 3z + 1} \right)}}{{ - {z^3} + 3z + 1}}}

      • quancnpmk10a nói:

        Vâng em cảm ơn. em hiểu rồi ạ. :D

      • quancnpmk10a nói:

        Dạng bài f(x,y).y' = 1 em thấy một số lời giải coi x là hàm của y và => y' = \frac{1}{{x'}} . EM không hiểu phần này mong thầy giúp em.
        Các dạng bài này từ bài 54->58 bài 1.3 đấy ạ.

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Theo định nghĩa phương trình vi phân, ta coi x là biến số, y=f(x) là hàm số phải tìm. Nhưng đối với những bài tập đó ta không thể giải với trường hợp này được và khi coi y là biến số, x=g(y) là hàm số phải tìm thì việc giải các phương trình trên trở thành các phương trình quen thuộc. Khi đó ta có
        y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}} = \frac{1} {{x'}} \Rightarrow x' = \frac{1}{{y'}}
        Ví dụ ý 54: \left( {2{e^y} - x} \right)y' = 1. Coi x là hàm số, y là biến số, ta có phương trình
        \left( {2{e^y} - x} \right)\frac{1}{{x'}} = 1 \Leftrightarrow 2{e^y} - x = x' \Leftrightarrow x' + x = 2{e^y} là phương trình vi phân tuyến tính đối với x, p(y)=1, q(y)=2e^y có nghiệm tổng quát là
        x = {e^{ - \int {p\left( y \right)dy} }}\left[ {\int {q\left( y \right){e^{\int {p\left( y \right)dy} }}dy}  + C} \right] = {e^{ - \int {dy} }}\left[ {\int {2{e^y}{e^{\int {dy} }}dy}  + C} \right] = {e^{ - y}}\left[ {\int {2{e^y}{e^y}dy}  + C} \right] = {e^y} + C{e^{ - y}}

      • quancnpmk10a nói:

        Vâng em cảm ơn thầy!

      • quancnpmk10a nói:

        thưa thầy, bài 75 y'x^{3}siny=xy'-2y em biến đổi và cuối cùng ra được C(x)=\int \frac{siny}{y^{2}}dy . Và em mắc ở tích phân này. Mong thầy giúp em với ạ.

      • quancnpmk10a nói:

        Dạ em nhầm. C(y)=… ạ.

      • quancnpmk10a nói:

        thưa thầy, bài 75 y'x^{3}siny=xy'-2y em biến đổi và cuối cùng ra được C(x)=\int \frac{siny}{y^{2}}dy. Và em mắc ở tích phân này. Mong thầy giúp em với ạ.

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Coi x là hàm y là biến ta có phương trình
        {x^3}\sin y = x - 2yx' \Leftrightarrow  - 2yx' + x = {x^3}\sin y \Leftrightarrow x' - \frac{1}{{2y}}x =  - {x^3}\frac{{\sin y}}{{2y}}\left( {y \ne 0} \right)
        Với x \ne 0 chia hai vế của phương trình cho x^3 ta được
        {x^{ - 3}}x' - \frac{1}{{2y}}{x^{ - 2}} =  - \frac{{\sin y}}{{2y}}
        Đặt z = {x^{ - 2}} \Rightarrow z' =  - 2{x^{ - 3}}x' ta có phương trình
        - \frac{1}{2}z' - \frac{1}{{2y}}z =  - \frac{{\sin y}} {{2y}} \Leftrightarrow z' + \frac{1}{y}z = \frac{{\sin y}}{y}
        là phương trình vi phân tuyến tính có nghiệm tổng quát là
        z = {e^{ - \int {\frac{1}{y}dy} }}\left( {\int {\frac{{\sin y}} {y}{e^{\int {\frac{1}{y}dy} }}dy}  + C} \right) = \frac{1} {y}\left( {\int {\sin ydy}  + C} \right) = \frac{1} {y}\left( { - \cos y + C} \right)
        Ngoài ra x=0, y=0 cũng là nghiệm.
        Tôi nghĩ em đã làm sai dấu ở phần biến đổi về phương trình tuyến tính.

      • Vâng. Em cảm ơn thầy.!

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Bài này phương trình tiếp theo không phải là phương trình thuần nhất nửa.
        Từ phương trình đã cho ta có
        \left[ \begin{gathered}   xy' + y = y'\sqrt y  \hfill \\   xy' + y =  - y'\sqrt y  \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   d\left( {{\text{y}}x} \right) = \frac{2} {3}d\left( {{y^{\frac{3} {2}}}} \right) \hfill \\   d\left( {{\text{y}}x} \right) =  - \frac{2} {3}d\left( {{y^{\frac{3} {2}}}} \right) \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   {\text{y}}x = \frac{2} {3}{y^{\frac{3} {2}}} + C \hfill \\   yx =  - \frac{2} {3}{y^{\frac{3} {2}}} + C \hfill \\  \end{gathered}  \right.

      • tuongnm_phuongdt nói:

        Việc kiểm tra này nên để cuối cùng, nếu x=0 là nghiệm kì dị thì ta viết:
        Ngoài ra $lxtex x=0$ cũng là nghiệm của phương trình.

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Đặt z=x^2-y suy ra z^{'}=2x - y^{'}. Em làm tiếp nhé

    • Trang Koj nói:

      Bạn làm thế nào với câu này vậy?

  10. PeacefulSky nói:

    Thưa thầy dạo này vào blog của thầy bị chặn nên nhiều bạn ko biết ko vào đc.
    Bản thân em cũng khá lâu ko vào được cũng ko để ý rằng wordpress lại bị chính phủ VN chặn.
    Tình cờ e fake ip lại thấy vào được. Em nghĩ nhiều bạn cũng ko vào được mà ko hiểu lí do.
    Em xin đóng góp cách để vào ko bị chặn http://vietsource.net/forum/showthread.php?t=3075&p=5996#post5996
    Vì link hơi dài, mà e nghĩ nếu thông báo trên blog thì các bạn cũng ko biết được( Vì ko vào đc nên cũng ko đọc nổi thông báo). Thầy nên thông báo việc này tới các lớp thầy dạy để các bạn có thể vào thảo luận được.
    Cách khắc phục:
    1. Thầy thông báo tới sinh viên vào link http://bit.ly/tuongphuongtn ( Link này ko bao giờ die) để xem cách khắc phục đầy đủ( Hoặc có thể qua cách 2)
    2. Nếu các bạn không vào được http://tuongphuongtn.wordpress.com có thể sửa thành https://tuongphuongtn.wordpress.com ( Cách này nhanh, gọn nhất nhưng e sợ lại bị chặn)
    Em mạo muội đóng góp ý kiến này có gì ko phải mong thầy+ các bạn thông cảm!

  11. quancnpmk10a nói:

    thầy cho em thử 1 cái. em đang tập gõ công thức toán trên này. :D.
    \frac{y}{x}

  12. vu kim dat nói:

    thưa thầy: ở phương trinh vi phân tuyến tính tất cả các bài toán ta co thể áp dụng công thức nghiêp tổng quát của phương trình được ko?

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Tất cả các bài đều có thể áp dụng công thức nhưng em phải xác định đúng p(x), q(x) và tính toán chính xác.

  13. quancnpmk10a nói:

    Thưa thầy cho em hỏi ngoài lề chút: em dùng word 2010 nó có phần chèn công thức toán sẵn, không cài được math type thì làm thế nào lấy latex trong word 2010 từ công thức ạ?

  14. quancnpmk10a nói:

    Thưa thầy thầy cho em hỏi bài này được ko ạ?
    {\left( {xy' + y} \right)^2} = yy{'^2}
    Em coi đây là pt bậc 2 của y’ và giải ra có \Delta  = {y^3} và cuối cùng em không đưa được về dạng của pt thuần nhất. Thầy giúp em với ạ.

  15. quancnpmk10a nói:

    thưa thầy, bài 75 y'x^{3}siny=xy'-2y em biến đổi và cuối cùng ra được C(x)=\int \frac{siny}{y^{2}}dy . Và em mắc ở tích phân này. Mong thầy giúp em với ạ.

  16. triệu nói:

    thầy ơi thầy giúp em bài 68 trong tờ bài tập với ạ
    y’ – 1 = e^(x+2y) em không biết chuyển về phương trình becnuli

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Bài tập này em vẫn đặt bình thường, có thể phương trình cuối không phải là phương trình Becnuly
      Đặt z = x + 2y \Rightarrow y' = \frac{{z' - 1}}{2}
      thay vào phương trình ta được
      \frac{{z' - 1}}{2} - 1 = {e^z} \Leftrightarrow z' = 2{e^z} + 3 \Leftrightarrow \frac{{dz}}{{2{e^z} + 3}} = dx
      Để tính tích phân này ta đặt e^z =t em tự làm tiếp nhé

  17. Thầy giúp em bài này với ạ: \displaystyle ydx+2xdy=\frac{2y\sqrt{x}}{\cos {{y}^{2}}}dy
    E biến đổi mãi mà không đưa được về dạng phương trình becnuli. Thầy giúp em vớ!

  18. Thưa thầy, cho em hỏi một chút ạ. Bài y=2xy'+siny' Em biến đổi đến đây thì thấy mâu thuẩn.
    Đặt y'=p \Rightarrow y=2px+sinp
    \Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{dp}{dx}.x+2p+cosp.\frac{dy}{dx}
    \Rightarrow -p=\left ( 2x+cosp \right ).\frac{dp}{dx} .
    Đến đây ta thấy p=0 là nghiệm của pt nhưng khi ta xét pt đầu tiên thì p=0 không phải là nghiệm..
    Vậy là sao ạ?

  19. hương nói:

    em chào thầy ! thầy cho em hỏi bài này chút ạ
    tìm nghiệm riêng của pt :(x^2+1)y”- 2xy’+2y=0? thỏa mãn y=1 tại x=2 ? y’=-1 tại x=2 ? và biết 1 nghiệm y1=x ? e làm bài này ra tới nghiệm tổng quát rồi ạ? nhưng khi thay x,y vào để tìm C1, C2 thì cho em hỏi C1 và C2 là hằng số hay là hàm số vậy ạ? mà nếu là hàm số thì làm như thế nào vậy ạ? em cảm ơn thầy

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Khi em tìm được nghiệm tổng quát của phương trình là y = {C_1}x + {C_2}\left( {{x^2} - 1} \right) \Rightarrow y' = {C_1} + 2x{C_2}
      Do
      \left\{ \begin{gathered}   {\left. y \right|_{x = 2}} = 1 \hfill \\   {\left. {{y^{'}}} \right|_{x = 2}} =  - 1 \hfill \\  \end{gathered}  \right.
      suy ra
      \left\{ \begin{gathered}   1 = {C_1}.2 + {C_2}\left( {{2^2} - 1} \right) \hfill \\    - 1 = {C_1} + 2.2.{C_2} \hfill \\  \end{gathered}  \right., do đó
      \left\{ \begin{gathered}   {C_1} = \frac{7} {5} \hfill \\   {C_2} =  - \frac{3} {5} \hfill \\  \end{gathered}  \right.

      Vậy nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu bài là
      y = \frac{7} {5}x - \frac{3} {5}\left( {{x^2} - 1} \right) = \frac{1} {5}\left( { - 3{x^2} + 7x + 3} \right)

  20. hương nói:

    vâng em cảm ơn thầy ạ

  21. Em thưa thầy, trong phần pt mà dạng chồng chất nghiệm, em đưa được về 2 pt có dạng là
    f1(x,y)=g1(x)
    f2(x,y)=g2(x)
    và em xác định được các nghiệm riêng có dạng tổng quát của 2 pt trên là y1* và y2*
    VD dạng
    y1*= ax^2+bx+c (1)
    y2*=d.e^x (2)
    thì em có được phép tìm a,b,c bằng cách thay vào pt 1, và d bằng cách thay vào pt 2 không ạ? hay phải tổng hợp: y*=y1*+y2* là nghiệm của pt ban đầu mới thay vào pt đó và tìm a,b,c,d.
    Làm theo cách thứ nhất có đúng ko ạ?

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Làm được, cả 2 cách đều đúng, nhưng làm theo cách 1 dài hơn nhưng tính lại dễ hơn. Ở trên lớp của tôi khi chữa bài tập tôi đã hướng dẫn cả 2 cách này. Em lựa chọn cách nào cũng được và quan trọng ở phần này là tính toán chính xác.

  22. hương nói:

    thầy ơi cho e hỏi bài này chút ạ. xy”-y’=x^2 ? thì ở dạng nào vậy ạ. và làm như thế nào ạ. e thấy đề thiếu y1 hay sao ạ.!

  23. hương nói:

    thầy ơi làm sao để đoán được nghiệm phương trình phức tạp chứ ạ. đề 3131 câu 6 khó quá ạ

    • tuongnm_phuongdt nói:

      Số bài phải đoán nghiệm rất ít, bài 6 mã đề 3131 không phải đoán nghiệm mà nó là dạng phương trình Euler, đặt e^x=t và biến đổi các đạo hàm của y theo t khi đó ta được phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng.
      Các em còn thi tiếp nên tốt nhất là hãy quên môn này đi và tập trung vào ôn thi tốt các môn sau.

  24. dinhhuuvi nói:

    em thưa thầy mong thầy giải bài này hộ em ạ.em không biết cánh giải dạng bt này:
    y” =-2xy’/(x*x+1) + 2yx*x+1) thỏa mãn y(3)=22, y’(1005)=2000 biết 1 nghiem riêng y1=x;

  25. Trang Koj nói:

    Thầy ơi thầy hướng dẫn giúp em bài này với ạ: \displaystyle y’=\sqrt{{{x}^{2}}-y}+2x

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s