Giới hạn

Giới hạn

3-adic

Nhiều người cho rằng học cái gì cũng  phải có mẹo, ăn nhau ở cái bí kíp. Người biết ít võ vẽ với người không chỉ hơn nhau một cái bí kíp. Cái bí kíp mà những người có học chút toán rất tự hào có tên là epsilon delta. Người không biết võ mà nghe thấy câu thần chú : với mọi epsilon tồn tại delta, thì chỉ còn nước lè lưỡi mà lảng sang chỗ khác. Một câu lạo xạo với mọi, tồn tại lại có hai chữ Hy lạ hoắc  là cả một thách thức với não bộ của anh La. Thực ra, anh La đừng lấy cái nản lòng làm lý do mà bỏ chạy nhé. Loài người đã mất rất nhiều thời gian mới tìm ra cái câu thần chú epsilon delta này  để diễn đạt cái khái niệm giới hạn, nhưng bản chất giới hạn thì ai cũng biết cả. Nhất là những người hâm mộ môn điền kinh.

Cả ngàn năm, nhân loại sống với khái niệm giới hạn khá là đại khái, nhưng cũng không ốm đau gì. Ví dụ thế này : 1-1+1-1+1… chuỗi cộng trừ đan dấu tiếp diễn đến vô cùng thì kết quả là bao nhiêu. Trả lời : bằng 1/2.  Cái đáng kinh ngạc là tác giả của câu trả lời vô nghĩa này là ông Euler, và còn đáng kinh ngạc hơn là trong cái bối cảnh riêng của ông ấy, thì câu trả lời này lại có nghĩa. Nhưng về nguyên tắc, các khẳng định toán học phải có giá trị đúng sai không phụ thuộc vào bối cảnh, mặc dù các chuyên gia về logic thì không hoàn toàn đồng ý về chuyện này. Thoát ra cái đại khái trong khái niệm giới hạn dù sao cũng là một bước tiến lớn trong lịch sử lý luận và đánh dấu sự khai sinh ra một bộ môn toán học mới gọi là giải tích.

Người có công lớn trong chuyện này là Cauchy. Ông ấy đưa ra khái niệm dãy Cauchy : chỉ có các dãy Cauchy mới có thể có giới hạn. Câu thần chú của ông ấy là như thế này : một dãy số x_1,x_2, \ldots là Cauchy nếu với mọi \epsilon >0 nhỏ tùy ý, tồn tại một N đủ lớn sao cho với mọi số tự nhiên m,n > N ta có |x_m-x_n|< \epsilon. Những câu thế này có thể giúp ta phân biệt một bên là những người biết võ, đọc là hiểu ngay, và những người không biết võ, đọc là lè lưỡi.

Ấy thế mà những người hâm mộ môn điền kinh lại hiểu rất rõ thế nào là  dãy Cauchy. Hãy xem bảng kỷ lục của môn nhảy cao chẳng hạn. Mỗi năm ta lại thấy nó nhích lên một chút, nhích thêm 1 xenti rồi thêm 1 mili  rồi thêm 1 nano … Dãy số kỷ lục này rõ ràng là bị chặn trên, vậy mà các vận động viên điền kinh không kể màu da, không kể tuổi tác, không quản nắng mưa phấn đấu cải thiện nó. Mọi người không biết chứ cái đáng quí ở đây không phải là nhảy cho cao mà là xây dựng cho được một dãy Cauchy. Các vận động viên điền kinh là những người thích toán giải tích.

Một cách khác để hiểu dãy Cauchy là như thế này : giả sử như độ phân giải của mắt của bạn là 1 nano, mắt cuả bạn rất tinh, nhưng dù có tinh đến mức nào đi nữa, bạn cũng chỉ có thể phát hiện ra sự biến thiên của một số hữu hạn  các thành viên đầu tiên của dãy Cauchy, kể từ thành viên x_N với N đủ lớn bạn sẽ không thấy chúng khác nhau nữa. Tất nhiên là mắt của bạn càng tinh, bạn càng phân biệt được nhiều hơn, nhưng trong mọi trường hợp bạn sẽ không vượt qua được số hữu hạn.

Cần phân biệt với khái niệm hội tụ. Dãy số (x_n) hội tụ đến số x nếu dù mắt bạn có tinh đến đâu bạn cũng không phân biệt được x với thành viên x_n với n đủ lớn. Hiển nhiên một dãy hội tụ thì phải là dãy Cauchy, nhưng có chắc dãy Cauchy thì hội tụ hay không ? Định lý Bolzano-Weierstrass nói là mọi dãy Cauchy trong tập các số thực đều hội tụ.

Câu chuyện phải chăng đến đây là hết. Chưa hết đâu nếu ta không quên mất cái câu hỏi hiện sinh : số thực thực ra là cái gì ? Khởi thủy, ta chỉ có số không, rồi số không đẻ ra số một, số một đẻ ra số hai, rồi lần lượt đẻ ra tất cả các số tự nhiên. Đặt lên chúng phép cộng phép trừ, ta phát hiện rằng bổ sung thêm số âm thì thật tiện cho tính toán. Học thêm phép nhân chia, ta phát hiện rằng bổ sung thêm phân số cũng thật tiện. Cho nên ta xây tập các phân số gọi là các số hữu tỉ. Từ thuở Hy La, người ta đã phát hiện ra tỉ lệ giữa độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân  và cạnh vuông không phải là số hữu tỉ. Ta có thể xấp xỉ cái tỉ lệ này bằng số hữu tỉ với sai khác nhỏ tùy ý, nhưng tỉ lệ này vẫn muôn đời không phải là số hữu tỉ.

Như vậy nếu ta chỉ hạn chế trong tập các số hữu tỉ, ta sẽ có những dãy Cauchy không hội tụ.  Không gian metric là một tập hợp với một khái niệm khoảng cách. Nó là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Tập các số hữu tỉ là một không gian metric không đầy đủ. Cái gì thiếu thì ta có thể thêm vào cho nó đủ.  Anh Dedekind xây dựng tập các số thực bằng cách đầy đủ hóa tập các số hữu tỉ : muốn đầy đủ hóa, ta chỉ cần tạo ra một giới hạn cho mỗi dãy Cauchy không có giới hạn hữu tỉ. Tất nhiên ta cần làm việc này một cách nhất quán : dãy Cauchy con phải có cùng giới hạn với dãy Cauchy mẹ. Sau khi thêm một cách hình thức một giới hạn cho các dãy Cauchy hữu tỉ không hội tụ đến số hữu tỉ, ta có một tập hợp mới to hơn gọi là tập các số thực. Như vậy về bản chất, số thực cũng chỉ là một cách gọi tên cho một dãy Cauchy các số hữu tỉ. Định lý Bolzano-Weierstrass khẳng định tập các số thực mà xây dựng như trên là một không gian đầy đủ.
Trên tập các số hữu tỉ còn có các khoảng cách khá lạ mắt gọi là khoảng cách p-adic. Cho p là một số nguyên tố. Hai số nguyên a,b được coi là gần nhau, nếu a-b chia hết cho một lũy thừa lớn của p. Ví dụ như với p=2, số 1024=2^{10} rất gần 0 còn số 1 hóa ra lại rất xa. Cho a,b\in \Bbb Q,  viết a-b=p^r mvới m là số hữu tỉ mà cả tử lẫn mẫu đều nguyên tố cùng nhau với p khi đó ta nói khoảng cách p-adic giữa a và b là p^{-r}. Khoảng cách 2-adic giữa 0 và 20 là 2^{-2}. Thoạt đầu nghe thì cũng lạ lắm, nhưng khoảng cách p-adic là một anh bạn thân thiện, dễ làm quen. Vì thực chất anh này chỉ một khuôn mặt mới của một câu chuyện cũ là tính chia hết cho lũy thừa của số nguyên tố p mà ai cũng biết.

Tập các số hữu tỉ với khoảng cách p-adic là một không gian metric không đầy đủ. Đầy đủ hóa cho nó, ta được một tập số lớn hơn nhiều gọi là tập các số p-adic ký hiệu là \Bbb Q_p. Nếu chỉ đày đủ hóa tập các số nguyên ta được vành các số nguyên p-adic ký hiệu là \Bbb Z_p. Cái hình ở trên đầu bài là tập các số nguyên 3-adic.

Nói chung ai cũng nên biết đến số p-adic vì biết đâu chúng ta sống trong vũ trụ  p-adic mà không biết. Năm ngoái người ta còn tổ chức hội nghị quốc tế về lý thuyết dây p-adic (p-adic string theory), nghe rùng rợn quá bác Sơn nhỉ. Xin bác cho biết độ nhớt ở trong lỗ đen p-adic thì có hoàn hảo hay không ?

Các vận động viên điền kinh thì có vẻ ít bay bổng hơn. Bảng kỷ lục của họ trông giống một dãy Cauchy thực hơn là một dãy Cauchy p-adic.

Theo cụ Ngô Bảo Châu

About tuongnm_phuongdt

Hạnh phúc với những gì đang có
Gallery | This entry was posted in Toán cao cấp 1. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s